勾股定理证明方法

严谨的数学学科在定理的证明中是非常严格的。每一条定理都是经过数学家们的反复验证。勾股定理也是经过了无数次的证明才成为定理的。但是在课本中这个定理是直接出现的，没有详细的证明过程。那么勾股定理该如何证明呢?学大老师总结了勾股定理证明方法帮大家学习勾股定理。

【证法1】面积相等法

做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.

可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等. 即a²+b²+4×0.5ab=c²+4×0.5ab

整理得 a²+b²=c².

【证法2】(邹元治证明)

以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积

等于0.5ab. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.

∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,

∴ ∠AHE = ∠BEF.

∵ ∠AEH + ∠AHE = 90º,

∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.

∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.

∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c²

∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA.

∵ ∠HGD + ∠GHD = 90º, ∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º. 又∵ ∠GHE = 90º,

∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.

∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于﹙a+b﹚²

∴﹙a+b﹚²=4×0.5ab+c²

∴a²+b²=c²

【证法3】(梅文鼎证明)

做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b ，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.

∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴ ∠EGF = ∠BED，

∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，

∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.

又∵ AB = BE = EG = GA = c， ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º.

∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º.

即 ∠CBD= 90º. 又∵ ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，

BC = BD = a.

∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则

a²+b²=S+2×0.5ab

c²=S﹢2×0.5ab

∴a²+b²=c²

【证法4】(项明达证明)

做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(b>a) ，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.

过点Q作QP∥BC，交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ，垂足为M;再过点 F作FN⊥PQ，垂足为N.

∵ ∠BCA = 90º，QP∥BC，

∴ ∠MPC = 90º，

∵ BM⊥PQ，

∴ ∠BMP = 90º，

∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90º.

∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，

∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90º，

∴ ∠QBM = ∠ABC，

又∵ ∠BMP = 90º，∠BCA = 90º，BQ = BA = c，

∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.

同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 从而将问题转化为【证法4】(梅文鼎证明).

【证法5】(利用相似三角形性质证明)

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90º，

∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.

AD∶AC = AC ∶AB， 即 AC²=AD·AB

同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC²=BD·AB

∴AC²+BC²=﹙AD+DB﹚·AB=AB²

即a²+b²=b²

【证法6】(利用反证法证明)

如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.

假设a²+b²=c²，即假设 AC²+BC²≠AB²，则由 AB²=AB·AB=AB﹙AD+BD﹚=AB·AD+AB·BD

可知 AC²≠AB·AD，或者BC²≠AB·BD.

即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.

在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠A = ∠A， ∴ 若 AD：AC≠AC：AB，则

∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中，

∵ ∠B = ∠B，

∴ 若BD：BC≠BC：AB，则 ∠CDB≠∠ACB.

又∵ ∠ACB = 90º，

∴ ∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.

这与作法CD⊥AB矛盾. 所以，AC²+BC²≠AB²的假设不能成立.

∴ a²+b²=c²

勾股定理证明方法在上文介绍了六种。分别是面积相等法、邹元志证明法、梅文鼎证明法、项明达证明法、反证法和利用相似三角形性质的证明法。希望同学们试着自己利用这六种证明法证明一下勾股定理。